Primeiro, é preciso lembrar que nenhum destes números pode terminar em zero, já que não ha divisão por este número. Seja então, x um número múltiplo de 10. Logo x + 1 termina em 1, x + 2 termina em 2 e assim por diante e estes números são consecutivos. Queremos então encontrar um valor de x que satisfaça o seguinte sistema de equações:

egin{gathered}egin{cases}1 | x + 1\2 | x + 2\3 | x + 3\4 | x + 4\5 | x + 5\6 | x + 6\7 | x + 7\8 | x + 8 \end{cases}end{gathered}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1 ∣ x+12 ∣ x+23 ∣ x+34 ∣ x+45 ∣ x+56 ∣ x+67 ∣ x+78 ∣ x+8

É fácil ver que x = 0 é uma solução. Queremos então somar um valor y tal que x + 1 + y continue sendo múltiplo de 1, x + 2 + y continue sendo múltiplo de 2 e assim por diante.

egin{gathered}egin{cases}1 | x + 1 + y\2 | x + 2 + y\3 | x + 3 + y\4 | x + 4 + y\5 | x + 5 + y\6 | x + 6 + y\7 | x + 7 + y\8 | x + 8 + y \end{cases}end{gathered}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1 ∣ x+1+y2 ∣ x+2+y3 ∣ x+3+y4 ∣ x+4+y5 ∣ x+5+y6 ∣ x+6+y7 ∣ x+7+y8 ∣ x+8+y

Para que isso aconteça, o número y somado deve ser múltiplo de 1,2,3,4,5,6,7 e 8. Assim, y deve ser múltiplo do MMC destes números.

mmc(1,2,3,4,5,6,7,8) = 2³.3.5.7 = 840

Então, com x = 0 e y = 840 temos:

egin{gathered}egin{cases}1 | 0 + 1 + 840 = 841\2 | 0 + 2 + 840= 842\3 | 0 + 3 + 840= 843\4 | 0 + 4 + 840= 844\5 | 0 + 5 + 840= 845\6 | 0 + 6 + 840= 846\7 | 0 + 7 + 840= 847\8 | 0 + 8 + 840= 848\end{cases}end{gathered}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1 ∣ 0+1+840=8412 ∣ 0+2+840=8423 ∣ 0+3+840=8434 ∣ 0+4+840=8445 ∣ 0+5+840=8456 ∣ 0+6+840=8467 ∣ 0+7+840=8478 ∣ 0+8+840=848

O menor destes números é 841, a soma de seus dígitos é 8 + 4 + 1 = 13.

Explicação:

eu acho que é isso??

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