Para resolver esse problema, vamos analisar a situação geométrica. Temos uma estátua de altura hhh sobre um pedestal de altura lll, e um observador que está a uma distância xxx do pedestal.

O ângulo θ\\thetaθ que o observador vê a estátua é formado entre a linha de visão do observador e o topo da estátua e a linha de visão do observador e a base da estátua.

Podemos calcular a taxa de variação do ângulo θ\\thetaθ em relação a xxx usando derivadas. Vamos começar identificando as relações trigonométricas envolvidas.

Passo 1: Relação Trigonométrica

A altura total da estátua e do pedestal é h+lh + lh+l. A tangente do ângulo θ\\thetaθ pode ser expressa como:

tan⁡(θ)=h+lx\\tan(\\theta) = \\frac{h + l}{x}tan(θ)=xh+l​

Passo 2: Derivada de θ\\thetaθ em relação a xxx

Para encontrar a taxa de variação de θ\\thetaθ em relação a xxx, diferenciamos tan⁡(θ)\\tan(\\theta)tan(θ) em relação a xxx:

ddx(tan⁡(θ))=ddx(h+lx)\\frac{d}{dx} \\left(\\tan(\\theta)\\right) = \\frac{d}{dx} \\left(\\frac{h + l}{x}\\right)dxd​(tan(θ))=dxd​(xh+l​)

Sabemos que:

ddx(tan⁡(θ))=sec⁡2(θ)⋅dθdx\\frac{d}{dx} \\left(\\tan(\\theta)\\right) = \\sec^2(\\theta) \\cdot \\frac{d\\theta}{dx}dxd​(tan(θ))=sec2(θ)⋅dxdθ​

E que:

ddx(h+lx)=−h+lx2\\frac{d}{dx} \\left(\\frac{h + l}{x}\\right) = -\\frac{h + l}{x^2}dxd​(xh+l​)=−x2h+l​

Portanto:

sec⁡2(θ)⋅dθdx=−h+lx2\\sec^2(\\theta) \\cdot \\frac{d\\theta}{dx} = -\\frac{h + l}{x^2}sec2(θ)⋅dxdθ​=−x2h+l​

Finalmente, a taxa de variação de θ\\thetaθ em relação a xxx é:

dθdx=−(h+l)x2sec⁡2(θ)\\frac{d\\theta}{dx} = -\\frac{(h + l)}{x^2 \\sec^2(\\theta)}dxdθ​=−x2sec2(θ)(h+l)​

Como sec⁡2(θ)=1+tan⁡2(θ)\\sec^2(\\theta) = 1 + \\tan^2(\\theta)sec2(θ)=1+tan2(θ), substituindo tan⁡(θ)=h+lx\\tan(\\theta) = \\frac{h + l}{x}tan(θ)=xh+l​, obtemos:

dθdx=−h+lx2(1+(h+lx)2)\\frac{d\\theta}{dx} = -\\frac{h + l}{x^2 \\left(1 + \\left(\\frac{h + l}{x}\\right)^2\\right)}dxdθ​=−x2(1+(xh+l​)2)h+l​

Passo 3: Cálculo Numérico

Agora, substituímos os valores fornecidos: h=20h = 20h=20, l=5l = 5l=5, x=50x = 50x=50.

Primeiro, calculamos tan⁡(θ)\\tan(\\theta)tan(θ):

tan⁡(θ)=20+550=2550=0,5\\tan(\\theta) = \\frac{20 + 5}{50} = \\frac{25}{50} = 0,5tan(θ)=5020+5​=5025​=0,5

Agora, substituímos na expressão para dθdx\\frac{d\\theta}{dx}dxdθ​:

dθdx=−25502(1+0,52)=−252500×(1+0,25)=−252500×1,25\\frac{d\\theta}{dx} = -\\frac{25}{50^2 \\left(1 + 0,5^2\\right)} = -\\frac{25}{2500 \\times \\left(1 + 0,25\\right)} = -\\frac{25}{2500 \\times 1,25}dxdθ​=−502(1+0,52)25​=−2500×(1+0,25)25​=−2500×1,2525​

Simplificando:

dθdx=−253125=−1125 radianos por unidade de comprimento\\frac{d\\theta}{dx} = -\\frac{25}{3125} = -\\frac{1}{125} \\text{ radianos por unidade de comprimento}dxdθ​=−312525​=−1251​ radianos por unidade de comprimento

Portanto, a taxa de variação do ângulo θ\\thetaθ em relação a xxx é −1125-\\frac{1}{125}−1251​ radianos por unidade de comprimento quando h=20h = 20h=20, l=5l = 5l=5 e x=50x = 50x=50.

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