17. Resolva as equações.(n+1)!a)=12-(n-1)

alvesdasilvamariaedu

há 2 semanas - Matemática

17. Resolva as equações.
(n+1)!
a)
=12
-
(n-1)

1 Resposta

mariaeduardadeolivei

há 2 semanas

1) $mathtt{dfrac{(n-1)!+n!}{(n+1)!}}$

Expandindo os fatoriais e truncando em a expressão fica

$=mathtt{dfrac{(n-1)!+ncdot (n-1)!}{(n+1)cdot ncdot (n-1)!}}\ =mathtt{dfrac{(n-1)!cdot (1+n)}{(n-1)!cdot (n+1)cdot n}}\ =mathtt{dfrac{(n-1)!cdot (n+1)}{(n-1)!cdot (n+1)cdot n}}\ =mathtt{dfrac{1}{n}}quadquad exttt{para }mathtt{n ge 1,,ninmathbb{N}}$

2) Resolver a equação:

$mathtt{dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=12}$

Expandindo os fatoriais e truncando em a equação fica

$mathtt{dfrac{(n+1)cdot ncdot (n-1)!}{(n-1)!}=12}\ mathtt{(n+1)cdot n=12}\ mathtt{n^2+n=12}\ mathtt{n^2+n-12=0}$

Resolvendo via fatoração por agrupamento. Subtraia e some ao lado esquerdo:

$mathtt{n^2-3n+3n+n-12=0}\ mathtt{n^2-3n+4n-12=0}\ mathtt{n(n-3)+4(n-3)=0}\ mathtt{(n-3)(n+4)=0}\ egin{array}{rcl} mathtt{n-3=0}& exttt{ ou }&mathtt{n+4=0}\ mathtt{n=3}& exttt{ ou }&mathtt{n=-4} exttt{ (n~ao serve)} end{array}$

Logo, a solução é

Testando:

$mathtt{dfrac{(3+1)!}{(3-1)!}}\ mathtt{=dfrac{4!}{2!}}\ mathtt{=dfrac{4cdot 3cdot diagup!!!!! 2!}{diagup!!!!! 2!}}\ mathtt{=4cdot 3}\ mathtt{=12quadquadcheckmark}$

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Bons estudos! :-)

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