Resolva a integral pelo método de frações parciais: integral de x^3 + 3x - 1/x^4 - 4x^2

há 6 meses - Matemática

Resolva a integral pelo método de frações parciais:
integral de x^3 + 3x - 1/x^4 - 4x^2

1 Resposta

há 6 meses

$dfrac{x^{3}+3x-1}{x^{4}-4x^{2}}=dfrac{x^{3}+3x-1}{x^{2}(x^{2}-4)}=dfrac{x^{3}+3x-1}{x^{2}(x^{2}-2^{2})}=dfrac{x^{3}+3x-1}{x^{2}(x+2)(x-2)}$

Devemos escrever a fração acima da seguinte forma:

$dfrac{x^{3}+3x-1}{x^{2}(x+2)(x-2)}=dfrac{A}{x}+dfrac{B}{x^{2}}+dfrac{C}{x+2}+dfrac{D}{x-2}$

Manipulando a parte da direita:

$dfrac{Ax(x+2)(x-2)+B(x+2)(x-2)+Cx^{2}(x-2)+Dx^{2}(x+2)}{x^{2}(x+2)(x-2)}\\\dfrac{Ax(x^{2}-4)+B(x^{2}-4)+C(x^{3}-2x^{2})+D(x^{3}+2x^{2})}{x^{2}(x+2)(x-2)}\\\dfrac{Ax^{3}-4Ax+Bx^{2}-4B+Cx^{3}-2Cx^{2}+Dx^{3}+2Dx^{2}}{x^{2}(x+2)(x-2)}\\\dfrac{(A+C+D)x^{3}+(B-2C+2D)x^{2}-4Ax-4B}{x^{2}(x+2)(x-2)}$
_

Então:

$dfrac{x^{3}+3x-1}{x^{4}-4x^{2}}=dfrac{(A+C+D)x^{3}+(B-2C+2D)x^{2}-4Ax-4B}{x^{2}(x+2)(x-2)}$

Cortando os denominadores (já que são iguais), temos:

$x^{3}+3x-1=(A+C+D)x^{3}+(B-2C+2D)x^{2}-4Ax-4B\1x^{3}+0x^{2}+3x-1=(A+C+D)x^{3}+(B-2C+2D)x^{2}-4Ax-4B$

Os polinômios só serão iguais se:

$egin{cases}A+C+D=1\B-2C+2D=0\-4A=3\-4B=-1end{cases}$

Achando A e B:

$-4A=3~ herefore~4A=-3~ herefore~oxed{oxed{A=-dfrac{3}{4}}}\\\-4B=-1~ herefore~4B=1~ herefore~oxed{oxed{B=dfrac{1}{4}}}$

Então:

$A+C+D=1~ herefore~-dfrac{3}{4}+C+D=1~ herefore~C+D=dfrac{7}{4}\\B-2C+2D=0~ herefore~dfrac{1}{4}-2C+2D=0~ herefore~-C+D=-dfrac{1}{8}$

Então:

$egin{cases}C+D=dfrac{7}{4}\-C+D=-dfrac{1}{8}end{cases}$

Somando as equações:

$2D=dfrac{7}{4}-dfrac{1}{8}=dfrac{14}{8}-dfrac{1}{8}=dfrac{13}{8}$

Logo:

$oxed{oxed{D=dfrac{13}{16}}}$

Achando C:

$C=dfrac{7}{4}-dfrac{13}{16}=dfrac{28}{16}-dfrac{13}{16}=dfrac{15}{16}$

Portanto:

$dfrac{x^{3}+3x-1}{x^{4}-4x^{2}}=dfrac{(-frac{3}{4})}{x}+dfrac{(frac{1}{4})}{x^{2}}+dfrac{(frac{13}{16})}{x+2}+dfrac{(frac{13}{16})}{x-2}$
________________________

Finalmente:

$intdfrac{x^{3}+3x-1}{x^{4}-4x^{2}}dx=intdfrac{(-frac{3}{4})}{x}+dfrac{(frac{1}{4})}{x^{2}}+dfrac{(frac{13}{16})}{x+2}+dfrac{(frac{13}{16})}{x-2}dx\\\intdfrac{x^{3}+3x-1}{x^{4}-4x^{2}}dx=intdfrac{(-frac{3}{4})}{x}dx+intdfrac{(frac{1}{4})}{x^{2}}dx+intdfrac{(frac{15}{16})}{x+2}dx+intdfrac{(frac{13}{16})}{x-2}dx$

Essas integrais são resolvidas por substituição de variáveis (com exceção das duas primeiras):

$intdfrac{x^{3}+3x-1}{x^{4}-4x^{2}}dx=-dfrac{3}{4}ln|x|+intdfrac{(frac{1}{4})}{x^{2}}dx+dfrac{15}{16}ln|x+2|+dfrac{13}{16}ln|x-2|+C_{1}$

A integral que sobrou é resolvida normalmente:

$intdfrac{(frac{1}{4})}{x^{2}}dx=dfrac{1}{4}int x^{-2}dx=dfrac{1}{4}dfrac{x^{-2+1}}{(-2+1)}=-dfrac{1}{4x}$

Portanto:

$oxed{oxed{intdfrac{x^{3}+3x-1}{x^{4}-4x^{2}}dx=-dfrac{3}{4}ln|x|-dfrac{1}{4x}+dfrac{15}{16}ln|x+2|+dfrac{13}{16}ln|x-2|+C}}$

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