Considere um ativo (ativo são bens, valores, créditos, direitos e assemelhados que formam o patrimônio de uma pessoa) com séries temporais de retorno ao longo de T períodos dados pelo vetor r^t. Este ativo tem retorno médio μ e risco σ, que assumimos ser positivo. Também consideramos o caixa como um ativo, com vetor de retorno μ^(rf) 1, onde μ^(rf) é a taxa de juros de caixa por período. Assim, modelamos o caixa como um ativo com retorno μ^(rf) e risco zero. (O sobrescrito em μ^(rf) significa "livre de risco".) Criaremos um portfólio simples que consiste no ativo e dinheiro. Se investirmos uma fração θ no ativo, e 1 − θ em dinheiro, o retorno do nosso portfólio é dado pela série tempora p = θr + (1 − θ)μ^(rf).1
Interpretamos θ como a fração de nossa carteira que mantemos no ativo. Permitimos as escolhas θ > 1 ou θ < 0. No primeiro caso, estamos tomando dinheiro emprestado e usando o produto para comprar mais do ativo, o que é chamado de alavancagem. No segundo caso, estamos vendendo o ativo. Quando θ está entre 0 e 1, estamos combinando nosso investimento no ativo e no caixa, o que é uma forma de cobertura (do termo em inglês: hedge), uma estratégia que pode ser usada no mercado financeiro.
(a) Derive uma fórmula para o retorno e risco da carteira, ou seja, a média e o desvio padrão de p. Eles devem ser expressos em termos de μ, σ, μrf e θ. Verifique suas fórmulas para os casos especiais θ = 0 e θ = 1.
(b) Explique como escolher θ para que a carteira tenha um determinado nível de risco alvo σ^( tar) (que é positivo). Se houver vários valores de θ que fornecem o risco alvo, escolha aquele que resulta no maior retorno do portfólio.

(c) Suponha que escolhemos o valor de θ como na pergunta anterior (b). Quando usamos alavancagem? Quando vamos vender o ativo? Quando fazemos uma cobertura? (Sem a necessidade de contas, apenas discussão).